Problem i thjeshtë Algjebre

[Soni001]

Tregoni qe cdo numer prim pervec 2-shit, mund te shprehet si diference e 2 katroreve te 2 numrave te tjere, ku cdo katror eshte nje numer i plote po te vihet nen rrenje katrore.. Se di se sa e shpjegova,,,heheh... po ju ndihmoj me nje shembull,,,psh: 7= 4^2 - 3^2

[skender76]

Tregoni qe cdo numer prim pervec 2-shit, mund te shprehet si diference e 2 katroreve te 2 numrave te tjere, ku cdo katror eshte nje numer i plote po te vihet nen rrenje katrore.. Se di se sa e shpjegova,,,heheh... po ju ndihmoj me nje shembull,,,psh: 7= 4^2 - 3^2

Pershendetje Soni001

9=5^2 - 4^2

8=3^2 - 1^2

7=4^2 - 3^2

6= ?

5=3^2 - 2^2

4=2^2 - 0^2

3=2^2 - 1^2

1=1^2 - 0^2

[Soni001]

Pershendetje Soni001

9=5^2 - 4^2

8=3^2 - 1^2

7=4^2 - 3^2

6= ?

5=3^2 - 2^2

4=2^2 - 0^2

3=2^2 - 1^2

1=1^2 - 0^2

ju lutem gjeni rregullin

[amaro]

13456789 = 13456792 ^ 2 - 3 ^ 2

[xfiles]

Pershendetje Soni001

9=5^2 - 4^2

8=3^2 - 1^2

7=4^2 - 3^2

6= ?

5=3^2 - 2^2

4=2^2 - 0^2

3=2^2 - 1^2

1=1^2 - 0^2

Kerkesa thote Numrat prim,
pra nuk quhen 8,6,4 etj etj

[skender76]

ju lutem gjeni rregullin

Rregullin!....un arrita duke ber prova.....por tani ve re qe:

per numrat tek 1,3,5,7,9 ve re qe C=A + B dhe B=(C-1):2

Nuk e di a i jam afru napak rregullit qe thu ti?

[alibaba]

5 = 3 katror - 2 katror

11 = 6 katror - 5 katror

e kështu me radhë........

[Borix]

Problema nuk mund te zgjidhet duke pergjithesuar vetem nga dy tre raste dhe nga nje shabllon qe lind nga keto raste. Une po paraqes nje menyre tjeter.


Le te jete p nje numer prim, ku p>2. Le te jene x dhe y numra te plote ne Z+. Atehere, na kerkohet te vertetojme se cdo numer p, p>2, shprehet si:

p = x^2 - y^2 (lexo x ne katror minus y ne katror).

Fillojme me nje veprim te thjeshte algjebrik - faktorizimi i diferences se katroreve:

p = (x - y)*(x + y) ..........(1) (ku * tregon shumezim).

Tani, nga perkufizimi i numrit prim, dime qe nje numer eshte prim kur plotepjesetohet vetem me veten dhe me numrin 1. Prandaj, nga shprehja (1), na dalin dy raste:

Rasti R1: x-y=1 dhe x+y=p,
Rasti R2: x-y=p dhe x+y=1.

Rasti R2 perjashtohet menjehere, sepse qe x+y te jete e barabarte me 1, x ose y duhet te jete zero. Por, ne kufizohemi nga kushti qe p>2, dhe x-y nuk do te dilte kurre me e madhe se dy. Per kete arsye, shqyrtojme vetem rastin R1.

Nga shprehja:

x-y = 1

nxjerrim qe x = y + 1 ............... (2).

Atehere, nga shprehja:

x + y = p,

nxjerrim qe p = 2y + 1, ku y eshte numer i plote ne Z+ ............... (3).

Pra, merr cdo p>2 nga bashkesia e numrave prim, dhe shprehja kthehet ne nje funksion te thjeshte linear.

Per shembull, nese p=3, atehere 3=2y+1, nga ku nxjerrim y=1. Atehere, meqenese ne (2) x=y+1, atehere x del 2. Dhe vertetohet barazimi qe p=3=x^2-y^2=4-1=3.

Megjithate, marrja e cdo rasti specifik per p>2 nuk konsiston ne prove. Menyra me e forte per ta provuar kete eshte duke vepruar me nje induksion te thjeshte matematikor mbi cdo vlere te variablit y ne shprehjen qe nxorrem ne (3).


Vertetim me Induksion te Thjeshte Matematikor:

Rasti baze

Per y=1, kemi x = 2 (sipas (2)), dhe p = 3 (sipas (3)). Atehere, p = 3 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3, del nje barazim i vertete. Pra, per rastin baze, kemi nje barazvlefshmeri.

Rasti Induktiv

E zeme se per y = n, ku n eshte ne Z+, barazimi qe na kerkohet eshte i vertete. Atehere e testojme barazimin per rastin y = n +1 dhe nese del i vertete, atehere kemi vertetuar ate qe kerkohen ne probleme per cdo rast.

Pra, nese y = n + 1, atehere x = n + 2 (sipas (2)) dhe p = 2(n+1) + 1 = 2n + 3 (sipas (3)). Atehere,

p = x^2 - y^2 ====>
2n+3 = (n+2)^2 - (n + 1)^2 =====>
2n+3 = [n^2 + 4n + 4] - [n^2 + 2n + 1] = (n^2 - n^2) + (4n-2n) + (4 - 1)

Nga ku nxjerrim se p = 2n+3 = 2n + 3. Hapi induktiv vertetohet, gje qe sjell edhe vertetimin se cdo numer prim p>2 shprehet si diferenca e katroreve te dy numrave te cfaredoshem ne Z+.