28 qershor 2009, vërtetim matematik i manipulimit të rezultateve

[Edvin83]

Prof. Dr. Fejzi Kolaneci
Shef i Departamentit të Matematikës dhe Shkencave të Natyrës në Universitetin e New York në Tiranë

Thenie:

"Njerëzit e pranojnë se rezultatet e zgjedhjeve parlamentare të rregullta harmonizohen me shpërndarjen normale. Matematikanët e argumentojnë këtë harmonizim me Teoremën Qëndrore Limite, ndërsa njerezit e tjerë në besimin në Matematikë."
Gabriel Lippman
(Fitues i Cmimit Nobel në Fizikë
dhe ish-President i Akademise së Shkencave të Francës)

"Teorema Qendrore Limite do të mbetet përgjithmonë një simbol i përkryer i aftësisë njerëzore."
Stephen Smale
(Fitues i Cmimit Fields në Matematikë)

HYRJE


Zgjedhjet parlamentare në shtete demokratike bashkëkohore janë proces determinist apo proces i rastit?

Ekzistojnë dy teori konkuruese të zgjedhjeve parlamentare: teoria deterministe dhe teoria stokastike. Në teorinë deterministe të zgjedhjeve parlamentare pranohet se rezultatet zgjedhore varen nga disa faktorë dhe asnjë nga këta faktorë nuk ndikohet nga rastësitë.


Përkundrazi, në teorinë stokastike të zgjedhjeve parlamentare pranohet se rezultatet zgjedhore varen nga ndikimi i faktorëve të rastit, në kuptimin e Teorisë së Probabilitetit. Gjithashtu, vlerësohen matematikisht rezultatet zgjedhore në prani të rastësive.


Disa shkencetarë ose politikanë pranojnë dhe përdorin teorinë deterministe të zgjedhjeve parlamentare demokratike, ndërsa disa të tjerë pranojnë dhe përdorin teorinë stokastike. Ne do të përdorim në studimin e tanishëm teorinë stokastike të zgjedhjeve parlamentare. Sipas kësaj teorie, zgjedhjet parlamentare në shtete demokratike janë eksperiment i rastit.


Kjo do të thotë se
a) këto zgjedhje nuk kanë rezultate të vetme të paracaktuara, por kanë disa rezultate të mundshme;
b) rezultatet e zgjedhjeve parlamentare nuk parashikohen gjithmonë me saktësi para kryerjes së tyre;
c) në qoftë se zgjedhjet parlamentare përseriten në kushte të njëjta, rezultatet e tyre mund të ndryshojnë.


Prandaj rezultatet e zgjedhjeve parlamentare janë madhësi e rastit (në kuptimin e Teorisë së Probabilitetit). Këto rezultate varen nga faktorë ekonomikë, politikë, socialë, informativë, psikologjikë, kulturorë, të brendshëm, të jashtëm, etj., shih [5], [4], [11], [26], [10], [22], [35], [32] dhe [17].


Disa nga këta faktorë janë: preferencat individuale të votuesve për partite politike ose për kandidatët (duke përfshirë indiferencën), interesat ekonomike të votuesve, pjesëmarrja në votime, sistemi i votimit që përdoret në zgjedhjet parlamentare, ndarja e territorit shtetëror në zona zgjedhore (ose harta zgjedhore), cilësitë individuale të kandidatëve për deputetë, renditjet e kandidatëve për deputetë në listat partiake, koalicionet ndërmjet partive politike, programet e partive politike në fushatën zgjedhore, rezultatet faktike në luftën kundër varfërisë, papunësisë, korrupsionit dhe krimit të organizuar, niveli i inflacionit, shpërthime skandalesh të fuqishme politiko - ekonomiko - morale, gabime të rastit gjatë proçesit zgjedhor, manipulime (hile) të rezultateve zgjedhore, sjellja e ndershme apo e korruptuar e komisionerëve zgjedhorë të gjithë niveleve (përfshi edhe Komisionin Qendror Zgjedhor), financimi i partive politike në fushatën zgjedhore, etj.


Gjithashtu votues të ndryshëm janë informuar në rrugë të ndryshme për karakterin, aftësitë, kompetencën, përkushtimin ndaj detyrës të liderëve partiakë ose të kandidatëve për deputetë. Kjo do të thotë se çdo votues zotëron informacion privat për partitë politike ose për kandidatët për deputetë dhe se ky informacion privat i votuesit përmban një zhurmë reale (ose markoviane) , shih [12] .


Në këtë studim do të analizohen matematikisht rezultatet e zgjedhjeve të 28 qershorit 2009 për Kuvendin e Republikës së Shqipërisë.


Vëmendje e veçantë do të përqëndrohet në Kodin Zgjedhor të këtyre zgjedhjeve parlamentare, në sistemin e votimit proporcional rajonal që u përdor në këto zgjedhje dhe në rezultatet zgjedhore të publikuara nga KQZ në nivel zone administrimi zgjedhor (ZAZ) ose në nivel kombëtar për secilën parti politike (PD, PS, ...).


Në këtë studim analizohen matematikisht përqindjet e votave të grumbulluara nga secila parti politike (PD, PS ...) në nivel qendre votimi, ZAZ dhe në nivel kombëtar.


Meqënëse në secilën qendër votimi kanë votuar qindra persona, çdo ZAZ përmbante dhjetra qendra votimi dhe Republika e Shqiperisë ishte e ndarë në 66 ZAZ, rrjedh se për rezultatet zgjedhore të PD ose PS në nivel ZAZ ose kombëtar është e zbatueshme Teorema Qendrore Limite (TQL), e cila është pohimi themelor i Teorisë së Probabilitetit.

TEOREMA QENDRORE LIMITE


Në qoftë se të gjithë mostrat e rastit (x1 ,x2, ... , xn) me madhesi n > 30 janë përftuar nga madhësia e cfarëdoshme X me pritje matematike μ dhe dispersion të fundëm б2, atëhere shpërndarja e probabiliteteve e mesatares së mostrës


është përafërsisht normale me pritje matematike μ dhe dispersion б2/n. Konvergjenca e mesatares në shpërndarjen normale është uniforme dhe e rendit .


Përafrimi përmirësohet me rritjen e numrit n. TQL është një pohim i jashtëzakonshëm i Teorisë së Probabilitetit sepse ligji i shpërndarjes së probabiliteteve i mesatares të mostrës së rastit nuk varet nga ligji i shpërndarjes së probabiliteteve i madhësisë së rastit X. A. N. Kollomogorov [21], S. Arstein dhe K. Ball [2], O. Kallenberg [18] kanë zhvilluar disa mënyra vërtetimi të TQL.


TQL shpjegon shkakun pse vlerat e vrojtuara të shumë proceseve natyrore ose shoqërore kanë shpërndarje përafërsisht normale. Një zbatim i rëndësishëm i TQL ka të bëjë me Teorinë Probabilitare të Votimit, [5]. Shpërndarja përafërsisht normale e rezultateve të zgjedhjeve parlamentare të rregullta është një pohim themelor i kësaj teorie.


Shkencëtarë të shquar (F. Y. Edgeëorth, Rt. Hon. J. P. Smith, etj) kanë konstatuar se rezultatet e zgjedhjeve parlamentare në Angli gjatë viteve 1884-1897 konvergjonin në shpërndarjen normale, [9].


Statisticieni i shquar amerikan S. A. Rice, pasi kontrolloi shpërndarjen e frekuencës relative të votës politike për Senatin e Amerikës gjatë viteve 1903-1923, konkludoi se kjo shpërndarje përafrohet me kurbën normale, [28].


Matematikanët e mirënjohur anglezë M. G. Kendall dhe A. Stuart kanë provuar se rezultatet e zgjedhjeve parlamentare të vitit 1945 në Angli përafroheshin më mirë me shpërndarjen normale, [19]. Rezultate analoge u përftuan në vitet 1950-1970 në Amerikë, Angli, Francë dhe Gjermani.


TQL ka shërbyer si bazim teorik i disa metodave të kontrollit stokastik. Ne fokusohemi në zbatimin e TQL për të kontrolluar rezultatet e zgjedhjeve parlamentare të 28 qeshorit 2009 në Republikën e Shqipërisë.


Ky kontroll do te kryhet në dy nivele: në nivel ZAZ të përberë nga qendra votimi dhe në nivel kombëtar me 66 ZAZ. Rëndësi parësore kanë rezultatet e kontrollit në nivel ZAZ sepse sa më i imët të jetë niveli i mastarizimeve lokale, aq më pranë së vërtetës do të jenë rezultatet e përftuara.


Në qoftë se zgjedhjet parlamentare zhvillohen të rregullta, rezultatet zgjedhore do të harmonizohen me shpërndarjen normale. Në qoftë se zgjedhjet zhvillohen të parregullta (me hile), atëhere shpërndarja e përqindjes së votave të secilës parti politike (PD, PS, ...) mund të divergjojë nga kurba normale ose mund të konvergjojë në kurben normale (domethenë, mund të harmonizohet ose të bjerë në kundërshtim me TQL).


Në qoftë se shpërndarja e përqindjes së votave të PD ose PS bie në kundërshtim me TQL (domethenë, divergjon nga kurba normale), atëhere zgjedhjet janë zhvilluar me parregullsi (me hile).


Divergjenca e rezultateve të zgjedhjeve parlamentare demokratike nga TQL (domethënë, devijimi i këtyre rezultateve nga kurba normale) ka nevojë për një argumentim matematik.


Në qoftë se, me siguri 95% ose 97% ose 99%, konstatohet se rezultatet e zgjedhjeve parlamentare të 28 qershorit 2009, në nivel ZAZ ose në nivel kombëtar, devijojnë nga kurba normale, atëhere TQL na ndihmon të kuptojmë se me siguri 95% ose 97% ose 99% nuk kënaqet kushti i TQL.


Cfarë do të thotë që të mos kënaqet kushti i TQL në nivel ZAZ të përbërë nga qendra votimi ose në nivel kombëtar me 66 ZAZ? Kjo do të thotë se është i vërtetë të paktën një nga tre pohimet e mëposhtme:


a) rezultatet e këtyre zgjedhjeve parlamentare nuk janë madhësi e rastit,
b) rezultatet e këtyre zgjedhjeve parlamentare nuk përfaqësojnë me vërtetësi preferencat politike individuale të një pjese të votuesve aktivë,
c) preferencat individuale politike të një pjese të votuesve janë të varura nga disa persona të tjerë (të cilët mund të jenë politikanë ose pushtetarë ose biznesmenë, etj.)


Tre pohimet e mësipërme interpretohen në mënyra të ndryshme. Ne do të trajtojmë shkurtimisht disa nga këto interpretime, duke u bazuar në historinë botërore të mashtrimit zgjedhor, [31].


Rezultate të zgjedhjeve parlamentare që divergjojnë nga kurba normale mund të gjenerohen nga prania e votuesve vendimtarë, nga trajtimi i pabarabartë (ose i diferencuar) i partive politike ose kandidateve për deputetë, nga blerja e votës, nga vjedhja e votës, nga afera korruptive të komisionerëve zgjedhorë, nga kërcënimi i komisionerëve zgjedhorë ose votuesve, etj.


Prandaj, kontradikta e rezultateve të zgjedhjeve parlamentare në TQL tregon se këto zgjedhje janë të manipuluara. Teorikisht, manipulimi zgjedhor është nxjerrja e rezultateve zgjedhore të pavërteta (të deformuara), duke zmadhuar artificialisht numrin e votave të partisë politike të favorizuar ose duke zvogëluar artificialisht numrin e votave të partisë rivale ose duke i bërë të dyja këto mashtrime (hile).


Manipulimi i rezultateve zgjedhore nga votues vendimtarë është vërtetuar matematikisht nga E. Dal Bó [6]e siguri të lartë 99%, rezultatet e zgjedhjeve parlamentare, të cilat janë shumë të afërta me një koalicion fitues minimal ose me një supermazhorancë ose me unanimitetin janë të gjitha të manipuluara nga votues vendimtarë.


Ky manipulim interpretohet si korruptim i votuesve nëpërmjet blerjes së votës nga individë me "xhepa te thella" (shumë të pasur) ose si kërcënim.


Manipulimi zgjedhor është i shumëllojshëm, ndërsa thelbi i tij është gjithmonë i njëjtë: korrupsion i demokracisë. Në zgjedhje parlamentare që karakterizohen nga një konkurencë e fortë ndërmjet dy partive politike (për shembull, në zgjedhjet e 28 qershorit 2009) një dozë e vogël e manipulimit zgjedhor mund të jetë e mjaftueshme për ndryshimin rrënjësor të rezultateve zgjedhore, duke e shndërruar partinë fituese në humbëse, ndërsa humbësen në fituese.


Edhe në rastet kur manipulimi zgjedhor nuk është aq i fuqishëm sa të përmbysë rezultatet zgjedhore, ai vlerësohet gjithmonë i rrezikshëm dhe i dënueshëm sepse shkatërron besimin e një pjese të votuesve në rezultatet zgjedhore.


Gjithashtu, manipulimi zgjedhor zvogëlon pjesëmarrjen në votime. Manipulimi zgjedhor ka shkallë kompleksiteti të lartë dhe paraqet vështirësi për tu identifikuar, por edhe për tu përballur me ligjin.


Një interpretim shumë i mirë i manipulimit zgjedhor është bërë nga Supreme Court of USAontradikta e rezultateve të zgjedhjeve parlamentare demokratike me TQL interpretohet si zhgënjim i preferencës së një numri të madh votuesish ose si mohim i mundësisë së ndershme të ndikimit të këtyre votuesve në proceset politike shtetërore gjatë një mandati parlamentar.


Në Amerikë, kjo kontradiktë vlerësohet si shkelje e parimeve bazë të demokracisë, shih Supreme Court of U.S.A., Davis vs. Bandemer case, 478 U.S.A. 109: 1986.


Pavarësia e preferencave individuale të votuesve për partitë politike formulohet matematikisht: probabiliteti që një votues i cfarëdoshëm të votojë për cilëndo parti politike (ose kandidat për deputet) nuk varet nga preferencat individuale të votuesve të tjerë për këto parti.


Si konkluzion, në qoftë se rezultatet e zgjedhjeve parlamentare demokratike, në nivel ZAZ ose kombëtar, bien në kundershtim me TQL, atëhere këto zgjedhje janë të manipuluara në nivelin korrespondues.
Për të nxjerrë këtë konkluzion ne u bazuam në Teorinë Probabilitare të Votimit. Në qoftë se do të bazohemi në Teorinë Deterministe të Votimit, atëhere manipulimi i rezultateve zgjedhore mund të vërtetohet me ndihmën e Teoremës Gibbard-Satterthëarte ose Teoremës Duggan-Schëartz [33], [34], [7], [16].
Sipas këtyre teoremave themelore, edhe sistemi i votimit proporcional rajonal që u zbatua në zgjedhjet parlamentare të 28 qershorit 2009, ka të paktën njërën nga vetitë e mëposhtme:


1) është diktatorial; domethënë ekziston një person (diktatori) i cili përcakton fituesin;
2) është imponues; domethënë, ndonjë ose disa parti politike ndalohen të fitojnë zgjedhjet, cilado qofshin rrethanat;
3) lejon edhe barazimin e rezultateve zgjedhore të dy ose më tepër partive politike ose koalicioneve;
4) është i manipuluar nga votuesë pesimistë ose optimistë nëpërmjet votimit taktik.
Ritheksojmë se në studimin e tanishëm ne kemi pranuar Teorinë Probabilitare të Votimit.
Rezultatet e zgjedhjeve parlamentare, të zhvilluara gjatë pesë dekadave të fundit në Amerikë, Gjermani, Angli, Francë, Holandë, Itali, Kanada, Suedi, Norvegji, Zvicër etj kanë treguar harmonizim me TQL, shih [5] , [22] , [27] , [ 3], [15].


Për kontrollin e hipotezës statistikore mbi shpërndarjen normale të votave të PD ose PS në nivel ZAZ të përbërë nga qendra votimi ose në nivel kombëtar me 66 ZAZ, do të përdoret Kriteri Kollmogorov-Smirnov-Lilliefors-Van Soest (shkurtimisht Kriteri KSLVS), shih [23], [1]. Zbatimi i Kriterit KSLVS është realizuar me programin kompjuterik Origin Lab, Version 8.
Le të jenë :

α niveli i rëndësisë,
γ niveli i sigurisë (siguria, besushmëria).
Zakonisht përdoret α = 0.05 ose α = 0.01
Në qoftë se niveli i rëndësisë është α = 0.05 = 5%, atëhere siguria do të jetë γ = 0.95= 95%, ndërsa në qoftë se niveli i rëndësisë është α = 0.01 = 1%, siguria do të jetë γ = 0.99 = 99 %.

Formulohen hipotezat bazë Ho dhe hipoteza alternative Ha
Ho : Të dhënat kanë shpërndarje normale.
Ha : Të dhënat nuk kanë shpërndarje normale.
Në studimin tonë, të dhënat janë rezultatet zgjedhore për PD dhe PS në nivel ZAZ të përbërë nga qendra votimi ose në nivel kombëtar me 66 ZAZ.
Me nivelin e rëndësise α të dhënë dhe me madhësinë e mostrës së rastit n të njohur, gjendet ne tabelën e Kriterit KSLVS vlera kritike (ose vlera teorike) e cila tregohet me simbolin Dk .
Në studimin tonë, n tregon numrin e qendrave të votimit që ka secila ZAZ ose numrin e ZAZ të Republikës së Shqipërisë. Proçedohet në këtë mënyrë :
Rishkruhen të dhënat në renditjen rritëse x1, x2, ........, xn . Llogariten vlerat numerike të funksioneve F(x), S(x), dhe F (x) - S (x ) për secilën nga të dhënat x1 , x2 , ......... , xn. Së fundi, llogaritet vlera e vrojtuar (ose vlera empirike) e Kriterit KSLVS me formulën
D = max [F(xi) - S(xi)]
1 ≤ i ≤ n

Ana e djathtë e formulës së mësipërme, e quajtur "distancë e Kollmogorovit", vlerëson shmangien maksimale të shpërndarjes së vrojtuar S ( x ) nga shpërndarja normale F ( x ) .

Rregulli i marrjes së vendimit (i vërtetuar matematikisht nga Kollmogorov, Smirnov, Lilliefros dhe Van Soest) është ky:
Në qoftë se D < Dk , pranohet hipoteza bazë Ho me siguri γ.
Në qoftë se D > Dk , hidhet poshtë hipoteza bazë Ho me siguri γ.
Tani jemi gati për të zbatuar Kriterin KSLVS në studimin tonë.

[Edvin83]

2. Kontrolli i hipotezës mbi shpërndarjen normale të rezultateve zgjedhore
Fillimisht ky kontroll do të bëhet në secilën ZAZ, si për PD ashtu dhe për PS, me siguri (besueshmëri) 95 %. Rezultatet e kontrollit jepen në tabelën 1.


Për PD (siguria γ = 95% )


Në 43 ZAZ rezultatet zgjedhore të PD harmonizohen me TQL, ndërsa në 23 ZAZ bien në kundërshtim me TQL. Konkretisht këto 23 ZAZ me shpërndarje të përqindjes së votave që divergjojnë nga kurba normale ¬ janë:


ZAZ 2 ( BERAT), ZAZ 3 (BERAT), ZAZ 4 (BERAT), ZAZ 8 ( DURRËS),
ZAZ 15 (ELBASAN), ZAZ 17 (ELBASAN), ZAZ 19 (FIER) , ZAZ 21 (FIER),
ZAZ 22 (FIER), ZAZ 24 (FIER), ZAZ 25 (GJIROKASTËR), ZAZ 36 (KUKËS),
ZAZ 37 (LEZHË), ZAZ 39 (LEZHË), ZAZ 40 (SHKODËR), ZAZ 41 (SHKODËR)
ZAZ 42 (SHKODËR), ZAZ 45 (TIRANË), ZAZ 49 (TIRANË), ZAZ 50 (TIRANË),
ZAZ 51 (TIRANË), ZAZ 56 (TIRANË), ZAZ 62 (VLORË).
Për PS (siguria γ = 95%).


Në 53 ZAZ rezultatet zgjedhore të PS harmonizohen me TQL, ndërsa në 13 ZAZ bien në kundërshtim me TQL. Konkretisht, këto 13 ZAZ në të cilat shpërndarja e përqindjes së votave divergjon nga shpërndarja normale janë:


ZAZ 16 (FIER) , ZAZ 25 (GJIROKASTËR) , ZAZ 30 (KORÇË) , ZAZ 31 (KORÇË),
ZAZ 32 (KORÇË) , ZAZ 35 (KUKËS) , ZAZ 38 (LEZHË), ZAZ 45 (TIRANË),
ZAZ 50 ( TIRANË ), ZAZ 51 (TIRANË), ZAZ 53 (TIRANË), ZAZ 58 (TIRANË),
ZAZ 59 (TIRANË).


Konkurenca ndërmjet PD dhe PS në zgjedhje parlamentare quhet lojë e ndershme në qoftë se diferenca e shpërndarjes së votave të grumbulluara nga këto dy parti politike (në nivel ZAZ ose kombëtar ) ka shpërndarje normale.


Në qoftë se shpërndarja e diferencës së perqindjes së votave ( PD - PS ) nuk ka shpërndarje normale, konkurenca ndërmjet dy partive politike në zgjedhje parlamentare quhet lojë e pandershme.


Ky përkufizim është dhënë në Teorinë e Lojrave nga nobelisti amerikan J.L.Stein. Ne e kemi përshtatur përkufizimin në proçesin e zgjedhjeve parlamentare.


Nga Tabela 1 rezulton se, me siguri 95 % , loja ( PD - PS ) në zgjedhjet parlamentare të 28 Qershorit 2009 ka qenë lojë e ndershme në 56 ZAZ, ndërsa lojë e pandershme në 10 ZAZ. Konkretisht, këto 10 ZAZ në të cilat konkurenca zgjedhore ka qenë lojë e pandershme janë:
ZAZ 8 (DURRËS), ZAZ 15 (ELBASAN), ZAZ 19 (FIER),
ZAZ 22 (FIER), ZAZ 25 (GJIROKASTËR), ZAZ 45 (TIRANË) ,
ZAZ 50 (TIRANË), ZAZ 51 (TIRANË), ZAZ 53 (TIRANË),
ZAZ 56 (TIRANË).
Gjithashtu, shkaktarë të lojës së pandershme zgjedhore janë:
PD për:
ZAZ 8 (DURRËS), ZAZ 15 (ELBASAN), ZAZ 19 (FIER), ZAZ 22 (FIER),
ZAZ 51 (TIRANE);
PS për:
ZAZ 53 (TIRANË);
PD dhe PS së bashku për:
ZAZ 25 (GJIROKASTËR), ZAZ 45 (TIRANË), ZAZ 50 (TIRANË) , ZAZ 51 (TIRANË).


Rezultatet e kontrollit të hipotezës mbi shpërndarjen normale të rezultateve zgjedhore për PD dhe PS në shkallë kombëtare me siguri 95% për n = 66 ZAZ jepen në Tabelën 2. Vlera kritike e kriterit KSLVS është e barabartë me 0.10893, vlera e vrojtuar për PD =0,08487, vlera e vrojtuar për PS =0,14505, ndërsa vlera e vrojtuar për diferencen (PD-PS) =0.11945.


Prandaj, me siguri 95%, shpërndarja e përqindjes së votave të PD harmonizohet me TQL (ose konvergjon ne kurbën normale), shpërndarja e përqindjes së votave të PS bie në kundërshtim me TQL (ose divergjon nga kurba normale), ndërsa konkurenca ndërmjet PD dhe PS në n = 66 ZAZ rezulton lojë e pandershme.


Këto rezultate matematike janë prova tronditëse. Me siguri 95 %, përqindjet e votave të PS në nivelin e Republikës së Shqipërisë me 66 ZAZ janë të manipuluara ndërsa konkurenca zgjedhore ndërmjet PD dhe PS rezulton lojë e pandershme.


Në teoremat 6 dhe 7 të studimit tonë të tanishëm do të vertetohet se me siguri 99%, rezultatet zgjedhore të PS në shkallë kombëtare me 66 ZAZ janë të manipuluara dhe me siguri 97%, konkurenca politike ndërmjet PD dhe PS në zgjedhjet parlamentare të 28 Qershorit 2009 rezulton lojë e pandershme.


Tani do të kryhet kontrolli i hipotezës mbi shpërndarjen normale të votave të grumbulluara nga PD dhe PS në secilën ZAZ ose në shkalle kombëtare me n = 66 ZAZ dhe me siguri 99 % .
Paraprakisht jepet një argument teorik mbi kontrollin e hipotezave statistikore.


Në qoftë se madhësia e rastit X ka shpërndarje normale me siguri 95%, atëhere X do të ketë shpërndarje normale dhe me siguri > 95 %,
Në qoftë se X nuk ka shpërndarje normale me siguri > 95 %, atëhere X nuk do të ketë shpërndarje normale me siguri 95%. Mund të ndodhë që X të ketë shpërndarje normale me siguri > 95 % dhe të mos ketë shpërndarje normale me siguri 95 %.
Rezultatet e kontrollit për shpërndarjen e përqindjes së votave të PD dhe PS, me siguri γ = 99 %, janë si më poshtë.


Për PD (siguria 99 %)
Në 55 ZAZ rezultatet zgjedhore harmonizohen me TQL, ndërsa në 11 ZAZ bien në kundërshtim me TQL. Konkretisht, këto 11 ZAZ në të cilat shpërndarja e përqindjes së votave divergjon nga kurba normale janë:
ZAZ 2 (BERAT), ZAZ 4 (BERAT), ZAZ 8 (DURRËS), ZAZ 17 (ELBASAN),
ZAZ 19 (FIER), ZAZ 21 (FIER), ZAZ 22 (FIER), ZAZ 45 (TIRANË),
ZAZ 50 (TIRANË), ZAZ 51 (TIRANË) , ZAZ 62 (VLORË).

Për secilën ZAZ, vlerat e vrojtuara të Kriterit KSLVS lexohen në Tabelen 1, ndërsa vlerat kritike (ose teorike) të këtij kriteri llogariten duke u bazuar në [1]. Le të japim disa detaje llogaritëse.
ZAZ Vlera kritike Vlera e vrojtuar
2 0.09063 0.09293
4 0.12596 0.13069
8 0.08023 0.09421
17 0.1082 0.11266
19 0.1220 0.1643
21 0.1770 0.18196
22 0.11466 0.13156
45 0.15990 0.16916
50 0.1499 0.17092
51 0.12468 0.18994
62 0.12326 0.13450

Për PS (siguria 99 %)
Në 62 ZAZ rezultatet zgjedhore harmonizohen me TQL, ndërsa në 4 ZAZ bien në kundërshtim me TQL. Konkretisht këto 4 ZAZ në të cilat shpërndarja e përqindjes së votave divergjon nga kurba normale janë:
ZAZ 25 (Gjirokastër), ZAZ 50 (Tiranë), ZAZ 53(Tiranë), ZAZ 59 (Tirane).
Vlera kritike dhe vlera e vrojtuar e kriterit KSLVS në këto ZAZ rezultojnë si më poshtë:
ZAZ Vlera kritike Vlera e vrojtuar
25 0.09391 0.11849
50 0.1499 0.15519
53 0.1634 0.20001
59 0.140167 0.14544

Me siguri 99%, konkurenca PD-PS në zgjedhjet parlamentare të 28 qershorit 2009 ka qenë lojë e ndershme në 64 ZAZ, ndërsa lojë e pandershme në 2 ZAZ:


ZAZ 22 (Fier) dhe ZAZ 50 (Tiranë)
ZAZ Vlera kritike Vlera e vrojtuar
22 0.11466 0.13425
50 0.14990 0.15519
Shkaktarë të lojës së paqëndrueshme zgjedhore në këto 2 ZAZ janë:
PD për ZAZ 22,
PD dhe PS së bashku për ZAZ 50.
Rezultatet e kontrollit të hipotezës mbi shpërndarjen normale të perqindjes së votave të PD dhe PS në shkallë kombëtare me n = 66 ZAZ dhe me siguri 99% janë keto:
Për PD
Vlera kritike është 0.12597
Vlera e vrojtuar është 0.08487
Prandaj, me siguri 99%, shpërndarja e përqindjes së votave të PD në shkallë kombëtare me
n = 66 ZAZ harmonizohet me kurbën normale.
Për PS
Vlera kritike është 0.12597
Vlera e vrojtuar është 0.14505
Me siguri 99%, shpërndarja e përqindjes së votave të PS në shkallë kombëtare me n = 6 ZAZ divergjon nga shpërndarja normale.
Tani do të analizohet loja politike e konkurencës ndërmjet PD dhe PS në zgjedhjet parlamentare të 28 qershorit 2009, me siguri 97% ose 98%.
Vlera kritike e Kriterit KSLVS me n =66 ZAZ dhe me γ = 97% është e barabartë me 0.115725, ndërsa me siguri 98% është 0.120372.
Vlera e vrojtuar e kriterit KSLVS për diferencën e përqindjes së votave në n = 66 ZAZ është 0.11945.

*******************

Prandaj, me siguri 97%, konkurenca zgjedhore ndërmjet PD dhe PS në shkalle kombëtare me n = 66 ZAZ rezulton lojë e pandershme. Gjithashtu, pohimi i mësipërm nuk është i vërtetë me siguri 98%. Në këtë kuptim mund të thuhet se siguria maksimale e lojës zgjedhore të pandershme ndërmjet PD dhe PS është 97%.


Në teoremat që pasojnë jepen disa përfundime të kontrollit të kryer nga ne me kriterin KSLVS, të rezultateve të zgjedhjeve parlamentare të 28 qershorit 2009.


Teorema 1


Me siguri 95% rezultatet zgjedhore të PD, të shprehura në përqindje votash, harmonizohen me TQL në 43 zona të administrimit zgjedhor dhe bien në kundërshtim me TQL në 23 zona të administrimir zgjedhor.


Teorema 2


Me siguri 95% rezultatet zgjedhore të PS, të shprehura në përqindje votash, harmonizohen me TQL në 53 zona të administrimit zgjedhor dhe bien në kundërshtim me TQL në 13 zona të administrimit zgjedhor.


Teorema 3


Me siguri 95% janë 4 zona të administrimit zgjedhor në të cilat rezultatet zgjedhore të PD dhe PS (të shprehura në perqindje votash) bien në kundërshtim me TQL.Gjithashtu, me të njëjtën siguri 95%, janë 32 zona të administrimit zgjedhor në të cilat rezultatet zgjedhore të PD ose PS (të shpërndara në përqindje votash) bien në kundërshtim me TQL.


Teorema 4


Me siguri 95% konkurenca zgjedhore ndërmjet PD dhe PS është lojë e ndershme në 56 zona të administrimit zgjedhor dhe lojë e pandershme në 10 zona të administrimit zgjedhor.


Teorema 5


Me siguri 95% shkaktarë të lojës zgjedhore të pandershme ndërmjet PD dhe PS janë:
PD për 5 zona të administrimit zgjedhor,
PS për 1 zonë të administrimit zgjedhor,


PD dhe PS së bashku për 4 zona të administrimit zgjedhor.


Teorema 6


Me siguri 95%, në nivel kombëtar me 66 zona të administrimit zgjedhor, rezultatet zgjedhore të PD harmonizohen me TQL, ndërsa rezultatet zgjedhore të PS (të shprehura në përqindje votash për të dy partitë) bien në kundershtim me TQL. Kjo teoremë është e vërtetë dhe me siguri 99%.


Teorema 7


Me siguri 97%, në nivel kombëtar me 66 zona të administrimit zgjedhor, konkurenca zgjedhore ndërmjet PD dhe PS rezulton lojë e pandershme.


Teoreme 8


Me siguri 99% rezultatet zgjedhore të PD, të shprehura në përqindje votash, harmonizohen me TQL në 55 zona të administrimit zgjedhor dhe bien në kundershtim me TQL në 11 zona të administrimit zgjedhor.


Teoreme 9


Me siguri 99% rezultatet zgjedhore të PS, të shprehura në përqindje votash, harmonizohen me TQL në 62 zona të administrimit zgjedhor dhe bien në kundërshtim me TQL në 4 zona të administrimit zgjedhor.


Teoreme 10


Me siguri 99% është vetëm 1 zonë e administrimit zgjedhor në të cilën rezultatet zgjedhore të PD dhe PS (të shprehura në përqindje votash) bien në kundërshtim me TQL. Gjithashtu, me të njëjtën siguri 99%, janë 14 zona të administrimit zgjedhor në të cilat rezultatet zgjedhore të PD ose PS (të shprehura në përqindje votash) bien në kundershtim me TQL.


Teorema 11


Me siguri 99% konkurenca zgjedhore ndërmjet PD dhe PS është lojë e ndershme në 64 zona të administrimit zgjedhor dhe lojë e pandershme në 2 zona të administrimit zgjedhor. Shkaktarë të kësaj loje të pandershme janë:
PD per 1 zonë të administrimit zgjedhor,
PD dhe PS së bashku për 1 zonë të administrimit zgjedhor.


Verejtje 1


Teorema 7 nuk rezulton e vërtetë me siguri 98%. Në këte kuptim, siguria maksimale e lojës zgjedhore të pandershme ndërmjet PD dhe PS është e barabartë me 97%. Me fjalë të tjera, gabimi i mundshëm në këtë kontroll statistikor është 3%.


Verejtje 2


Katër zona të administrimit zgjedhor të Teoremës 3 përfshihen në dhjetë zonat e administrimit zgjedhor te Teoremës 4. Me fjalë të tjera, në ato zona të administrimit zgjedhor ku rezultatet zgjedhore të PD dhe PS bien në kundërshtim me TQL (me siguri 95%), rezulton se konkurenca zgjedhore ndermjet PD dhe PS është lojë e pandershme.


Verejtje 3


Me siguri 99%, vetëm në zonën administrative zgjedhore me numër 50 rezultatet zgjedhore të PD dhe PS kundërshtojnë TQL. Nga kontrolli statistikor i kryer ka rezultuar se me siguri 99% konkurenca zgjedhore ndërmjet PD dhe PS është gjithashtu lojë e pandershme në këtë zonë administrative zgjedhore.


4. Diskutim


Rezultatet e zgjedhjeve parlamentare demokratike të 28 qershorit 2009 quhen optimale (efektive) në kuptimin Pareto, në nivel ZAZ ose kombëtar, në qoftë se nuk ekziston ndonjë rezultat zgjedhor i mundshëm, në të cilin përqindjet e votave të partive politike të rriten kolektivisht ose manipulimet e rezultateve zgjedhore të zvogëlohen njëkohësisht.


Me fjalë të tjera, cdo shmangie (largim) nga optimumi Pareto mund te jetë e favorshme për ndonjë (ose disa) parti politike dhe e pafavorshme për ndonje (ose disa) parti të tjera politike.
Matematikanë të shquar (G. Debreu, S. Smale, K J Arroë, N. N. Vorobjev, etj) kanë vërtetuar disa teorema të rëndësishme për ekzistencën e optimumeve Pareto në Teorinë e Lojrave, shih [8] , [14] dhe [25] .


Në qoftë se në procesin zgjedhor janë bërë hile mjaftueshmërisht të rënda, atëhere shuhen shpresat që rezultatet zgjedhore të jenë optimale (efektive) në kuptimin Pareto, sepse një pjesë e politikanëve kanë përfituar padrejtësisht në kurriz të pjesës tjetër. E thënë shkurt, hiletë rrëshqasin rezultatin zgjedhor nga optimumi Pareto.


Në prani të hileve (manipulimeve) mjaftueshmërisht të rënda, rezultati zgjedhor faktik nuk mund të jetë kurrsesi ekuilibër Bayes-Nash i lojës politike të zgjedhjeve parlamentare demokratike, sepse optimaliteti sipas Paretos është një ndër pesë kushtet që kënaqen në përkufizimin e ekuilibrit Bayes-Nash, shih [27].


Prandaj nga teoremat 1, 2, 3, 4 dhe 6 do të rezultojë e vertetë:


Teorema 12


Me siguri 99%, rezultatet e zgjedhjeve parlamentare të 28 qershorit 2009 në Republikën e Shqipërisë nuk janë optimum Pareto (as dhe ekuiliber Bayes-Nash) në 32 ZAZ të përbëra nga qendra votimi dhe në nivel kombetar me 66 ZAZ.


Verejtje 4


Rezultatet zgjedhore divergjente nga optimumi Pareto ose nga ekuilibri Bayes-Nash të lojës politike të zgjedhjeve parlamentare në shtete demokratike bashkëkohore do të induktojnë (gjenerojnë) situatë politike të paqëndrueshme ose kriza politiko-ekonomike.
Duke u bazuar në rezultatet e studimit tonë, formulohen hipotezat e mëposhtme për Republikën e Shqipërisë:


Hipoteza 1 (H1)


Në qoftë se shpërndarja e përqindjeve të votave të PD ose PS divergjon nga kurba normale, atëhere zgjedhjet parlamentare do të gjenerojnë zvogëlim të efektivitetit (ose rendimentit) të disa proceseve kryesore ekonomike dhe politike.


Hipoteza 2 (H 2)


Ekziston korrelacioni pozitiv ndërmjet numrit të deputeteve të Kuvendit të Shqiperisë të dyshuar për afera korruptive dhe numrit të zonave të administrimit zgjedhor, në të cilat rezultatet zgjedhore për PD ose PS bien në kundërshtim me Teoremen Qendrore Limite.


Hipoteza 3 (H 3)


Ekziston korrelacioni pozitiv ndërmjet indeksit të perceptimit të korrupsionit dhe numrit të zonave të administrimit zgjedhor, në të cilat shpërndarja e përqindjes së votave të PD ose PS divergjon nga kurba normale.
Për të krahasuar rregullsinë e zgjedhjeve parlamemtare të viteve 2009, 2005, 2001 dhe 1997 në Republikën e Shqipërisë, nga këndvështrimi i Teorisë Moderne te Probabilitetit, do të mbështetemi në pohimet e mëposhtme, shih [20].


Pohimi 1


Me siguri 95%, përqindjet e votave të kandidatëve për deputetë të PD në nivel kombëtar me zona zgjedhore, në zgjedhjet parlamentare të viteve 2005 dhe 2001 kanë shpërndarje normale, ndërsa në zgjedhjet e vitit 1997 nuk kanë shpërndarje normale.


Pohimi 2


Me siguri 95%, përqindjet e votave të kandidatëve për deputetë të PS në nivel kombëtar me zona zgjedhore, në zgjedhjet parlamentare të vitit 2005 kanë shpërndarje normale, ndërsa në zgjedhjet e viteve 2001 dhe 1997 nuk kanë shpërndarje normale.


Pohimi 3


Me siguri 95%, konkurenca zgjedhore ndërmjet kandidatëve për deputetë të PD me kandidatët për deputetë të PS në nivel kombëtar me zona zgjedhore, në zgjedhjet parlamentare të vitit 2005 ka qenë lojë e ndershme.


Nga Teorema 6, Pohimi 1 dhe Pohimi 2 deduktohet me siguri 95% se, në nivel kombëtar në zgjedhjet e vitit 2009 rezultatet zgjedhore të PD harmonizohen me TQL, ndërsa PS ka bërë hap prapa krahasuar me zgjedhjet parlamentare të vitit 2005, sepse rezultatet zgjedhore të PS në vitin 2009 nuk harmonizohen me TQL .

Nga Teorema 7 dhe Pohimi 3 deduktohet me siguri 95% se konkurenca zgjedhore ndërmjet PD dhe PS, në nivel kombetar, në zgjedhjet parlamentare të vitit 2005 ka qenë lojë e ndershme, ndërsa në zgjedhjet parlamentare të vitit 2009 lojë e pandershme (madje, me siguri 97%).

[Edvin83]

Manipulimet e bëra nga PD dhe PS sipas 12 qarqeve, me siguri 95%, në zgjedhjet parlamentare të 28 qershorit 2009 janë këto:
Qarku Berat ka 4 ZAZ dhe në 3 ZAZ rezultatet zgjedhore të PD divergjojnë nga kurba normale. Ne 4 ZAZ konkurenca ndërmjet PD dhe PS është lojë e ndershme.
Qarku Dibër ka 3 ZAZ dhe në të gjitha këto ZAZ rezultatet zgjedhore të PD dhe PS konvergjojne në kurba normale. Gjithashtu, loja PD-PS është e ndershme.
Qarku Durrës ka 4 ZAZ, në njërën ZAZ rezultatet zgjedhore të PD divergjojnë nga kurba normale. Gjithashtu, në këtë ZAZ, konkurenca ndërmjet PD dhe PS rezulton lojë e pandershme.
Qarku Elbasan ka 6 ZAZ dhe në 2 ZAZ rezultatet zgjedhore të PD divergjojnë nga kurba normale. Në njerën nga këto ZAZ konkurenca zgjedhore ndërmjet PD dhe PS ështe lojë e pandershme, ndërsa në ZAZ tjeter (domethënë, ne ZAZ 17) kjo konkurencë zgjedhore rezulton loje e ndershme "për fije floku".
Qarku Fier ka 7 ZAZ dhe në 5 ZAZ rezultatet zgjedhore bien në kundërshtim me TQL. Konkretisht, në 4 ZAZ rezultatet zgjedhore të PD divergjojnë nga kurba normale, ndërsa në 1 ZAZ rezultatet zgjedhore të PS divergjojne nga kurba normale. Gjithashtu, ne 2 ZAZ (në të cilat rezultatet zgjedhore të PD divergjojnë nga kurba normale) konkurenca ndëmjet PD dhe PS rezulton lojë e pandershme.
Qarku Gjirokastër ka 3 ZAZ dhe ne nje nga këto ZAZ rezultatet zgjedhore të PD ose PS divergjojnë nga kurba normale. Gjithashtu, loja PD - PS është e pandershme.
Qarku Korçë ka 6 ZAZ dhe në 3 ZAZ rezultatet zgjedhore të PS divergjojne nga kurba normale. Gjithashtu, me siguri 95%, në asnjë ZAZ nuk ka lojë zgjedhore të pandershme të PD dhe PS.
Qarku Kukës ka 3 ZAZ dhe në 1 ZAZ rezultatet zgjedhore të PD divergjojnë nga shpërndarja normale, ndërsa në 1 ZAZ tjetër rezultatet zgjedhore të PS divergjojnë nga shpërndarja normale. Gjithashtu, në këtë qark, nuk ka asnje ZAZ në të cilën loja zgjedhore PD -PS të rezultojë e pandershme.
Qarku Lezhë ka 3 ZAZ dhe në 2 ZAZ rezultatet zgjedhore të PD divergjojnë nga kurba normale, ndërsa në ZAZ e tretë rezultatet zgjedhore të PS divergjojnë nga shperndarja normale. Gjithashtu, në asnjë ZAZ nuk ka lojë të pandershme ndërmjet PD dhe PS.
Qarku Shkodër ka 5 ZAZ dhe ne 3 ZAZ rezultatet zgjedhore te PD divergjojne nga kurba normale. Në asnjë ZAZ të këtij qarku nuk ka lojë të pandershme ndërmjet PD dhe PS.
Qarku Tiranë ka 16 ZAZ dhe në dy prej tyre vetëm rezultatet zgjedhore të PD divergjojnë nga kurba normale, në tre ZAZ të tjera vetëm rezultatet zgjedhore të PS divergjojnë nga shpërndarja normale, ndërsa në tre ZAZ të tjera si rezultatet zgjedhore të PD ashtu dhe të PS divergjojnë nga shpërndarja normale. Prandaj, janë 2+3+3=8 ZAZ të qarkut Tiranë, në të cilat PD ose PS kanë bërë hile. Gjithashtu në 5 ZAZ të qarkut Tiranë rezulton lojë e pandershme ndërmjet PD dhe PS (përfshi 3 ZAZ me shkakarë si PD ashtu dhe PS, një ZAZ me shkaktare PD dhe një ZAZ me shkaktare PS).
Qarku Vlorë ka 6 ZAZ dhe në 1 ZAZ rezultatet zgjedhore të PD divergjojnë nga kurba normale. Gjithashtu, në këtë qark nuk ka asnjë ZAZ, në të cilën konkurenca zgjedhore PD-PS të rezultojë lojë e pandershme.
Në zgjedhjet parlamentare të 28 qershorit 2009 qarqet më të rregullt janë Dibra dhe Vlora, ndërsa qarqet më të parregullt rezultojnë Fieri, Tirana, Lezha, Elbasani, Berati dhe Shkodra.
Rezultatet e zgjedhjeve parlamentare të 28 qershorit 2009 kanë dëshmuar (pasqyruar) jo vetëm një konkurencë të fortë ndërmjet PD dhe PS, por edhe parregullsi (hile, manipulime) në të gjitha ato ZAZ ose në nivel kombetar, në të cilat shpërndarja e përqindjes së votave të PD ose PS ose të diferencës (PD-PS) divergjon nga kurba normale. Prandaj, lind në mënyrë të natyrshme problemi:
Si mund të vlerësohen matematikisht ndikimet e manipulimeve të bëra në këto zgjedhje parlamentare në përmbysjen (ose ndryshimin) e rezultateve zyrtare të publikuara nga KQZ, në qoftë se nuk hapen kutitë e votimit? Ne propozojmë që vlerësimi i ndikimit të manipulimeve në rezultatet zgjedhore të bëhet me Metodën Monte Carlo, e cila është një klasë algoritmesh (teknikash llogaritëse) që përdorin numra të rastit dhe metoda të analizës numerike, për të zgjidhur probleme të ndërlikuara dhe komplekse të shkencave natyrore, teknike, ekonomike, politike, ushtarake, sociale, mjekësore, etj. Themelues të Metodës Monte Carlo janë shkencëtarët e shquar amerikanë N. Metropolis, S. Ulam, J. Von Neumann, E. Teller, M. N. Rosenbluth, etj, të cilët punonin në vitet 1949-1952 në Laboratorin Shkencor të Los Alamos, Amerikë, për shpikjen e bombës me hidrogjen. Metoda Monte Carlo këshillohet dhe preferohet të përdoret për probleme të cilëve nuk u gjendet zgjidhja e saktë me metoda të tjera. Zakonisht, probleme të tilla kanë shkallë kompleksiteti të lartë në kuptimin Kollmogorov, sepse ndryshoret e hyrjes së problemit përmbajnë në vetvete pasiguri, informacioni që disponohet nuk është as i saktë dhe as i plotë, problemi ka një numër të madh shkallësh lirie, etj, shih [24], [13], [29], [30]. Metoda Monte Carlo përdor llogaritje të përseritura me numra të rastit, të cilat përshtaten paraprakisht për tu kryer në kompiuter. Simulimet kompiuterike të Metodës Monte Carlo imitojnë procesin ose sistemin që studiohet. Sot është vërtetuar matematikisht se parashikimet e bëra me Metodën Monte Carlo janë më të sakta se parashikimet që bazohen në intuitën njerëzore (të politikanëve, ekonomistëve, fizikanëve, inxhinierëve, mjekëve, sociologëve, juristëve, ushtarakëve, etj). Metoda Monte Carlo është përdorur me mjeshtëri dhe efikasitet në fizikën bërthamore, teknologjinë e raketave, aviacionin ushtarak, astronomi, financë, etj.
Në studimin e tanishëm propozohet përdorimi i Metodës Monte Carlo në zgjedhjet parlamentare.
Konkretisht, do të synohet të vlerësohen me anën e simulimeve numeriko-kompjuterike propabilitetet e rezultateve të mundshme të zgjedhjeve parlamentare të 28 qershorit 2009, me kusht që këto rezultate të harmonizohen me TQL. Siguria e këtij harmonizimi do të jetë 95% ose 97% ose 99%. Kontrolli statistikor do të kryhet në nivel ZAZ dhe në nivel kombëtar me 66 ZAZ. Do të përdoret Kriteri KSLVS. Do të kontrollohen jo vetëm shpërndarjet e përqindjes së votave të PD, PS, por dhe shpërndarja e diferencës (PD-PS). Praktikisht, të ngrihet një grup pune me ekspertë për kryerjen e simulimeve Monte Carlo dhe për interpretimin matematik të rezultateve të simulimeve. Në këtë procedurë mund të asistojnë si vëzhgues edhe përfaqsues të PD, PS, LSI, etj.
Ne mendojmë se kjo metodë shkencore e identifikimit të së vërtetës për rezultatet e zgjedhjeve parlamentare të 28 qershorit 2009 është e ndershme, efektive dhe ndoshta më e mirë se hapja e kutive te votimit dhe rinumërimi i votave.
Konkluzione
Teorema Qendrore Limite është jo vetëm një pohim themelor i Teorisë së Probabilitetit por edhe një instrument matematik i dobishëm dhe efektiv për kontrollin e rregullsisë së zgjedhjeve parlamentare në shtetet demokratike. Në qoftë se shpërndarja faktike e përqindjes së votave të PD, PS dhe diferencës (PD-PS), në nivel ZAZ ose kombëtar, nuk harmonizohen me kurbën normale gaussiane, atëhere rezultatet zgjedhore janë manipuluar. Në studimin tonë, zbatohet Kriteri KSLVS për kontrollin e hipotezës mbi shpërndarjen normale të rezultateve zyrtare të publikuara nga KQZ. Rrëshqitja (divergjenca) nga kurba normale e rezultateve zgjedhore për PD ose PS është një provë e bazuar shkencërisht (dhe si e tillë, provë e pakundërshtueshme) e manipulimit të rezultateve të zgjedhjeve parlamentare të 28 qershorit 2009 në Republikën e Shqipërisë. Kjo provë është tronditëse sepse TQL ësgtë një teoremë themelore e Teorisë së Probabilitetit. Rezultatet zyrtare të zgjedhjeve parlamentare të 28 qershorit 2009 nuk vërtetojnë matematikisht fitoren e PD ndaj PS për arsyet që do të paraqiten më poshtë.
Me siguri 95%, rezultatet zgjedhore të PD harmonizohem me TQL në 43 ZAZ dhe bien në kundershtim me TQL në 23 ZAZ (35% të ZAZ).
Me siguri 95%, rezultatet zgjedhore të PS harmonizohen me TQL në 53 ZAZ dhe bien në kundërshtim me TQL në 13 ZAZ (20% të ZAZ).
Me siguri 99%, rezultatet zgjedhore të PD harmonizohen me TQL në 55 ZAZ dhe bien në kundërshtim me TQL në 11 ZAZ (17% të ZAZ).
Me siguri 99%, rezultatet zgjedhore të PS harmonizohen me TQL në 62 ZAZ dhe bien në kundërshtim me TQL në 4 ZAZ (6% të ZAZ).
Me siguri 95%, konkurenca zgjedhore ndërmjet PD dhe PS ështe lojë e ndershme në 56 ZAZ dhe lojë e pandershme në 10 ZAZ. Për lojën e pandershme mbajnë përgjegjësi:

* Vetëm PD në 5 ZAZ
* Vetëm PS në 1 ZAZ
* PD dhe PS së bashku në 4 ZAZ.

Me siguri 99%, konkurenca zgjedhore ndërmjet PD dhe PS ështe lojë e ndershme në 64 ZAZ dhe lojë e pandershme në 2 ZAZ. Për lojën e pandershme mbajnë pergjegjësi:

* Vetëm PD në 1 ZAZ
* PD dhe PS së bashku në 1 ZAZ.

Me siguri 99%, rezultatet zgjedhore të PD në nivel kombëtar me 66 ZAZ harmonizohen me TQL.
Me siguri 99%, rezultatet zgjedhore të PS në nivel kombëtar me 66 ZAZ bien në kundërshtim me TQL.
Me siguri 97%, në nivel kombëtar me 66 ZAZ konkurenca zgjedhore ndërmjet PD dhe PS rezulton lojë e pandershme (ky pohim nuk vërtetohet me siguri 98%).
Me siguri 99%, në 32 ZAZ rezultatet e zgjedhjeve parlamentare të 28 qershorit 2009 nuk janë as optimum Pareto dhe as ekuilibër Bayes-Nash-Harsanyi.
Me siguri 99%, rezultatet e zgjedhjeve parlamentare të 28 qershorit 2009 nuk janë as optimum Pareto dhe as ekuilibër Bayes-Nash-Harsanyi në nivel kombëtar me 66 ZAZ. Rezultatet zgjedhore divergjente nga optimumi Pareto dhe nga ekuilibri Bayes-Nash-Harsanyi do të gjenerojnë paqëndrueshmeri politiko-ekonomike. Në zgjedhjet parlamentare të 28 qershorit 2009 qarqet më te rregullta janë Dibra dhe Vlora, ndërsa qarqet më të parregullta janë Fieri, Tirana, Lezha, Elbasani, Berati dhe Shkodra.
Për ta vlerësuar matematikisht ndikimin e manipulimeve të bëra në rezultatet zgjedhore propozohet përdorimi i Metodës Monte Carlo. Kjo metodë shkencore e fuqishme mundëson vlerësim matematik të propabilitetit të rezultateve zgjedhore korrekte të harmonizuara me TQL. Gjithashtu, përdorimi i Metodës Monte Carlo nuk kushtëzohet nga hapja ose mos-hapja e kutive të votimit. Ne besojmë se përdorimi i Metodës Monte Carlo për analizën e rezultateve të zgjedhjeve të 28 qershorit 2009 në Republikën e Shqipërisë është një propozim i ndershëm, shkencërisht i bazuar, ligjërisht i lejueshëm dhe ndoshta më racional se sa hapja e kutive të votimit dhe rinumërimi i votave. Prandaj, vëmendja duhet të përqëndrohet jo vetëm në hapjen e kutive të votomit, por edhe në përdorimin e Metodës Monte Carlo. Në qoftë se kryhet një numër i madh simulimesh Monte Carlo (për shembull, 5000 ose 10000 simulime), atëhere duke u bazuar në rezultatet e simulimeve kompiuterike të kryera, ne llogarisim probabilitetin e ngjarjes së rastit që në zgjedhjet parlamentare të 28 qershorit 2009 PD ka grumbulluar më shumë (ose më pak vota) se PS në nivel ZAZ të përbërë nga QV ose në nivel kombëtar të përbërë nga 66 ZAZ, me kusht që rezultatet zgjedhore të harmonizohen me TQL. Në thelb të këtij propozimi qëndron zbatimi i metodës matematike të përafrimit të një problemi jokorrekt me një bashkësi problemesh korrekte, i kombinuar me Metodën Monte Carlo. Në këtë konceptim matematik, problemi jokorrekt korrespondon me rezultate zgjedhore të publikuara zyrtarisht nga KQZ dhe që bien në kundërshtim me TQL, ndërsa problemi korrekt korrespondon me rezultate zgjedhore që harmonizohen me TQL. Pra propozimi ynë i përdorimit të Metodës Monte Carlo në rezultatet zgjedhore të 28 qershorit 2009 do të ndihmojë për arritjen e një marëveshje të bazuar shkencërisht ndërmjet PD e PS dhe për kapërcimin e krizës politike aktuale në Shqipëri. Bazimi shkencor konsiston në Metodën Tihonov-Arsenin-Lions-Lates të zgjidhjes së problemeve jokorrekte.
BIBLIOGRAFI

* H. Abdi & P. Molin, Lilliefors / Van Soest's test of normality, Encyclopedia of Measurement and Statistics, (Neil Salkind editor), Sage, 2007, pp 1-10.
* S. Arnstein, K. Ball, Central Limit Theorem, Journal of American Mathematical Society, Vol 17 (2004), pp 975-982.
* K. Bawn, Voter responses to electoral complexity: Rational voters and representation in the Federal Republic of Germany, British Journal of Political Sciences, Vol 29, no 3, 1999, pp 487-505.
* R. A. Bernstein, Elections, Representation and Congressional Voting Behavior, Englewood Cliffs, N. J. : Prentice Hall, 1999.
* P. J. Coughlin, Probabilistic Voting Theory, Cambridge: Cambridge University Press, 2008.
* E. Dal Bó, Bribing voters, American Journal of Political Sciences, Vol 51, No 4, 2007, pp 789-803.
* J. Duggan and T. Schwartz, Gibbard-Satterthëaite generalized, Social Choice and Welfare, Vol 17 (2000), pp 85-93.
* P. K. Dutta, Strategies and Games: Theory and Practice, M.I.T. Press, 1999.
* Edgeëorth, F. V., Applications of the Thory of Probability, J. R. Statist. Soc., Vol 51, 1898, pp 534-561.
* J. M. Eneloë, M. J. Hinich, Advances in the Spatial Theory of Voting, Cambridge: Cambridge University Press, 2008.
* H. Eulau and M. S. Leëis-Beck, Economic Conditions and Electoral Outcomes, Algora Publishing, University of Ioëa, 1985.
* T. Fedderson and Ë. Pesendorfer, Voting behavior and information in elections ëith private information, Econometrica, Vol. 65, No. 5 (September 1997), 1029-1058.
* G. S. Fishman, Monte Carlo Method: Concepts, Algorithms, and Applications, Springer-Verlag, Neë York, 1995.
* D. Fudenberg, J. Tirole, Game Theory, M.I.T. Press, 1991.
* A. Gelman, J. N. Katz, and F. Tuerlincx, The mathematics and statistics of voting power, Statistical Science, Vol 17, No 4, 2002, pp 420-435.
* A. Gibbard, Manipulation of voting schemes: a general result, Econometrica, Vol. 41, No 4, 1972, pp 587-601.
* J. K. Hodge and R. E. Klima, The Mathematics of Voting and Elections, Mathematical World Vol. 22, edited by the American Mathematical Society, 2005.
* Kallenberg O., Foundations of Modern Probability, Neë York: Springer-Verlag, 1997.
* M. G. Kendall and A. Stuart, The laë of the cubic proportion in election results, The British Journal of Sociology, Vol. 1, No. 3 (1950), pp 183-196.
* F. Kolaneci, N. Gjini, A. Borici, Analizë matematikore e rezultateve zgjedhore të 3 korrikut 2005 për Kuvendin e Shqipërisë, nëntor 2005, UNYT.
* A. N. Kolmogorov, Probability Theory, Moscoë, Nauka, 1984 (in Russian).
* A. Lijphart, Patterns of Democracy in thirty-six Countries, Neë Haven, Yale University Press, 1999.
* H. W. Lilliefors, On the Kolmogorov-Smirnov test for normality ëith mean and variance unknoën, Journal of American Statistical Association, Vol 62, 1967, pp 399-402.
* N. Metropolis, S. Ulam, The Monte Carlo Method, Journal of American Statistical Association 44 (247), 1949, pp 335-341.
* R. B. Myerson, Game Theory: Analysis of Conflict, Harvard University Press, 1991.
* G. Pomper, Variability of Voting Behavior, University Press of America, 1983.
* K. T. Poole and H. Rosenthal, Patterns of congressional voting, American Journal of Political Sciences, Vol 35, No 1, 1991, pp 228-278.
* S. A. Rice, The political vote in a frequency distribution of opinions, The American Statistical Association, Vol 19, No 1, 1924, pp 70-75.
* C. P. Robert and G. Casella, Monte Carlo Statistical Method, Springer-Verlag, New York, 2004.
* R. Y. Rubinstein and D. P. Kroese, Simulation and the Monte Carlo Method, John Willey & Sons, Neë York, 2007.
* R. G. Saltman, The History of Politics and Voting Technology, Palgrave Macmillan, 2006.
* W. J. Schiller, Partners and Rivals: Representation in U. S. A. Senate, Princeton: Princeton University Press, 2000.
* A. D. Taylor, The manipulability of voting systems, The American Mathematical Monthly, April 2002.
* A. D. Taylor, Social Choice and the Mathematics of Manipulation, Cambridge University Press, 2005.
* E. T. Whittaker and G. Robinson, The Calculus of Observations, New York: Dover, 1987.

[Edvin83]

Në pjesën e tretë dhe të fundit të analizës së Prof. Dr. Fejzi Kolaneci, Shef i Departamentit të Matematikës dhe Shkencave të Natyrës në Universitetin e New York në Tiranë, për aritmetikën e zgjedhjeve parlamentare të 28 qershorit 2009, jepet rast pas rasti, procesi aq i anatemuar i manipulimit të votave në zgjedhje. Sipas prof.Kolanecit, PD dhe PS janë bashkëfajtore në procesin e tjetërsimit të vullnetit të votuesve, megjithëse në raporte të ndryshme, dule bashkëpunuar në lojën e pandershme politike. Sipas analizës rezultatet e zgjedhjeve parlamentare të 28 qershorit 2009 ishin jo vetëm dëshmi e konkurencës së fortë ndërmjet PD dhe PS, por edhe e hileve dhe manipulimeve, që i bënë edhe këto zgjedhje të parregullta. Dhe këto në ato qarqe ku është vendosur për rezultatin përfundimtar.