Konstantja e rrethit 𝜋 është gabim

[arsimtari]

Të gjithë e dimë se rrethi përkufizohet si bashkësi e të gjitha
pikave që kanë largësi të njëjtë nga një pikë të caktuar në
rrafsh, d.m.th. nga qendra e rrethit. Largësia e një pike të
rrethit nga qendra e rrethit quhet rreze dhe shënohet me r.
Arkimedi zbuloi qysh para dy mijë vjetësh se perimetri i rrethit
pjesëtuar me diametrin e rrethit është gjithmonë konstant, pa
marrë parasysh madhësinë e rrethit. Këtu nuk ka kurrfarë gabimi.
Nëse perimetri i rrethit shenohet me C (në burimet e shkruar në
gjuhën angleze perimetri i rrethit shënohet me shkronjën C,
por te ne shenohet me P), ndërsa diametri i rrethit shenohet
me D, pra D = 2r (ku r-ja paraqet rrezen e rrethit),
atëherë konstantja e rrethit 𝜋 (pi) përkufizohet fatkeqësisht si:
𝜋 = C ∕ D
Përafërsisht është: 𝜋 = 3,14 ...

Problemi parimor është se derisa rrethi përkufizohet me rrezen
e vetë, në përkufizimin e 𝜋-së përdoret diametri! Gati të gjitha
llogaritjet në matematikë bëhen me anë të rrezes së rrethit dhe
përdorimi i diametrit është shumë i rrallë.
Sot përdoret njësia e kandeve radian (shkurtesa është rad),
i cili përkufizohet poashtu me anë të rrezes së rrethit.
Zakonisht merret parasysh rrethi i plotë, dhe kjo është arsyeja
pse matematika ka shumë formula me 2𝜋.
P.sh. Perimetri i rrethit me rreze r është:

P = 2𝜋r

Sipërfaqja e rrethit është dhënë me formulën e Arkimedit(!):

A = 𝜋r^2 (𝜋 herë r në katror)

Edhe vetë Arkimedi ka përdorë rrezen dhe jo diametrin e rrethit!
Ai vetë kurrë nuk e ka përdorë simbolin 𝜋 për konstanten e rrethit!

Problem i madh është se si të sqarohet nxanësve se kandi i drejtë
(pra 90°) ka 𝜋∕2 radian. A po shihni drejtpërsëdrejti ndonjë lidhje
logjike në mes të 1∕4 të rrethit dhe 𝜋∕2 radianëve! Shikoni këtë
tabelë me vlera të koklavitura në radian:

45° 𝜋∕4 një e teta e rrethit
90° 𝜋∕2 një e katërta e rrethit
180° 𝜋 gjysma e rrethit
360° 2𝜋 rrethi i plotë (!!!)

Ka mjaftë shkencëtarë dhe pedagogë që kanë vërejtur se e gjithë
kjo është një dështim i plotë pedagogjik (fjalët e përpikta të zotëri
Michael Hartl do të citoj më poshtë).

Matematicienti skocez David Gregory ka përdor në vitin 1693
𝜋∕𝜌 jo si thyes të perimetrit dhe të rrezes (ai përdori 𝜋-në për
perimetër dhe 𝜌-në për rreze), por "si një vlerë" të konstantes së
rrethit. Dhe kjo konstante e kishte vlerën përafërsisht 6,28 pra
dy herë ma të madhe se konstantja 𝜋 = 3,14
Për herë të parë 𝜋-në në kuptimin e sotëm e përdori
William Jones më 1706 dhe gati pas 100 vjetëve 𝜋-ja u pranua
si simbol i konstantës së rrethit, fatkeqësisht me vlerë 𝜋 = 3,14 .
(burimi i informatës:
http://www.harremoes.dk/Peter/Underv...Turnpage1.html).

Sqarimin e të gjitha këtyre problemeve dhe zgjidhjen e vështirësive
me 𝜋-në e ka dhënë matematicienti Bob Palais në artikullin e tij:
"𝜋 is Wrong"("𝜋-ja është gabim"). Ai ka vërejtur me të drejtë se
do të duhej të përkufizohej 𝜋-ja si C ∕ r, pra si marrëdhënie e
perimetrit të rrethit ndaj rrezes së rrethit (jo diametrit të rrethit),
si dhe të ketë vlerën përafërsisht 6,28...
I frymëzuar nga ky shkrim, Michael Hartl shkroi
"Manifestin e 𝜏-së" (http://tauday.com/),
duke propozuar simbolin e konstantes C ∕ r të jetë 𝜏 (tau). Sipas tij:

"You will see that, from the perspective of a beginner,
using 𝜋 instead of 𝜏 is a pedagogical disaster"

("Ju do të shihni se nga pikëpamja e fillestarit përdorimi i 𝜋-së
në vend të 𝜏-së është një dështim i plotë"). Por mos të harrohet
edhe përdorimi i tepëruar i 2𝜋-së në formulat matematikore.

Edhe ky shkrim është përshtatje dhe shkurtim i Manifestit të 𝜏-së
(me lejen e autorit).

----------------------------------
Përkufizimi i drejtë i konstantës së rrethit është:

𝜏 = C ∕ r

ku është C - perimetri i rrethit dhe r - rrezja e rrethit.

𝜏 = 6,283185307179586...

Njëri prej argumenteve për shkronjën 𝜏 (tau) është se kjo
shkronjë ka një këmbëz, ndërsa 𝜋-ja ka dy këmbëza
(sikurse diametri që është baraz me 2r) ;-)

Kandet në radian janë:

45° 𝜏∕8 një e teta e rrethit
90° 𝜏∕4 një e katërta e rrethit
180° 𝜏∕2 gjysma e rrethit
360° 𝜏 rrethi i plotë

Po, po! Rrethi i plotë ka 𝜏 rad (2𝜋 po duket mjaft "pa lidhje")!

Perimetri "i rrethit të plotë" me rreze r është:

P = 𝜏 r (ose C = 𝜏 r në shkrimet e huaja)

Sipërfaqja A e rrethit është:
A = (𝜏 r^2)∕2
Kjo formulë tash po na përkujton formulat e fizikës:
(gt^2)∕2 ose (mv^2)∕2.

Mjafton që në shkrimet e ardhshme matematikore në fillim
të shkruhet
𝜏 = 2𝜋
dhe pastaj lirisht të përdoret 𝜏-ja.
----------------------------------

Për shkak të rëndësisë së temës u detyrova prapë të shkruaj
në këtë forum. Prandaj reagoni në këtë shkrim si përkrahës
ose si kundërshtar. Dhe lexoni "Manifestin e 𝜏-së" në
http://tauday.com/
Por nëse kundështoni, përdorni forcën e argumenteve sepse
përndryshe nuk do të reagoj. Nëse nuk reagoj në
kundërshtimin e drejtpërdrejtë, mos mendoni se jam dorëzuar.
Kjo do me thënë vetë se s'kam bashkëbisedues të denjë.
Por ma merr mendja se ata që merren me matematikë e kanë
edhe logjikën ma të fortë.
Pra gjeta edhe një shkronjë për të cilën dua të luftoj
(në këtë forum ose jashtë këtij forumi)! Nëse nuk e dini si ta
shkruani shkronjën tau ( 𝜏 ), përdorni funksionet "cut" në këtë
tekst dhe "paste" në programin e juaj të shkrimit (!!!) ose
përdorni kodet:

Unikodi U+1D70F
(MATHEMATICAL ITALIC SMALL TAU)

XML kodi decimal

𝜏

;

Problemi i shkrimit të shkronjës 𝜏 (tau) për ne nuk është ma
i madh se shkrimi i shkronjës 𝜋 (pi). Prandaj secili prej jush
le ta gjejë metodën e vetë të shkrimit të kësaj shkronje.
Dita e 𝜏-së është më 28 qershor (6.28).

[G.D]

Kur e lexova ne fillim mendova se mos kjo kosnstante ishte llogaritur gabim dhe u habita sepse konstantja eshte vertetuar qe nga vertetimet teorike me integrime dhe limite deri tek vertetimet e thjeshta eksperimentale.
Shihet qarte qe eshte me e udhes perdorimi i konstantes 2*pi=tau. Kjo nevoje paska te beje vetem dhe vetem me anen estetike te zgjidhjes dhe shtrimit te problemit. Ne fund te fundit do te ishte nje revolucion i kendshem qe do e zbukuronte edhe me shume matematiken.
Ky muhabet nuk nderron asgje ne perkufizimin e radianit si sektor i rrethit qe kufizohet nga pjesa e perimetrit e barabarte me rrezen e rrethit. Ndryshon vetem raporti me te cilin rrine se bashku tau me radianet.
Matematika po behet gjithmone e me e bukur!
Faleminderit per temen e bukur!

[arsimtari]

Kur e lexova ne fillim mendova se mos kjo kosnstante ishte llogaritur gabim dhe u habita sepse konstantja eshte vertetuar qe nga vertetimet teorike me integrime dhe limite deri tek vertetimet e thjeshta eksperimentale.
Shihet qarte qe eshte me e udhes perdorimi i konstantes 2*pi=tau. Kjo nevoje paska te beje vetem dhe vetem me anen estetike te zgjidhjes dhe shtrimit te problemit. Ne fund te fundit do te ishte nje revolucion i kendshem qe do e zbukuronte edhe me shume matematiken.
Ky muhabet nuk nderron asgje ne perkufizimin e radianit si sektor i rrethit qe kufizohet nga pjesa e perimetrit e barabarte me rrezen e rrethit. Ndryshon vetem raporti me te cilin rrine se bashku tau me radianet.
Matematika po behet gjithmone e me e bukur!
Faleminderit per temen e bukur!

Qofshit me nderë G.D. Por nevojitet përkrahje më e madhe për pranimin
e tau-së nëpër shkollat tona. Bisedoni me sa më tepër njerëz për këtë
temë!

[arsimtari]

Këtë shkrim e shkrova për ata që kanë vështirësi me njësinë e
kandit radian.

Rethin e ndajmë në 360°, por do të ishte e mundur edhe ndonjë
ndarje tjetër. P.sh. ekziston njësia gon (nëpër disa llogaritës
digjital të dorës shënohet me grad), e cila fitohet me ndarjen e
rrethit në 400 pjesë. Por gon është pranuar vetëm në disa
shtete, edhe ate vetëm në disa lëmi të caktuara.

Radiani është "njësi e natyrshme e kandeve në matematikë"
ngase i thjeshton formulat dhe llogaritjet. Nuk varet prej
ndonjë ndarjeje të zgjedhur të rrethit (në 360 ose 400 pjesë
të barabarta të rrethit) ose prej madhësisë së rrethit.

Kandi prej 1 radian është kandi përballë harkut të rrethit
nëse harku ka gjatësi të barabartë me rrezen e rrethit.

Prandaj për një rreth të caktuar sipas përkufizimit vlen:
1 rad = gjatësia e harkut / gjatësia e rrezes = 1
d.m.th. është një numër i pastër, pa njësi të ndonjë madhësie
fizike. Njësia e kandit "rad" shpeshherë nuk shkruhet ngase
nënkuptohet. Te kandet e dhëna me shkallë njësia duhet të
shkruhet (p.sh. 90°).

Perimetri i rrethit i pjesëtuar me rrezen e rrethit është
gjithmonë konstant dhe e ka vlerën 𝜏 (tau):

𝜏 = C ∕ r

ku është C - perimetri i rrethit dhe r - rrezja e rrethit.

𝜏 = 6,283185307179586...

ose përafërsisht 𝜏 = 6,28

Shihet se derisa te përkufizimi i njësisë së kandit radian morëm
vetëm një hark të rrethit (një pjesë të perimetrit të rrethit), te
përkufizimi i konstantes 𝜏 morëm tërë perimetrin e rrethit.

Prandaj rrethi i plotë e ka perimetrin:

C = (C ∕ r) * r = 𝜏 r

Në përgjithësi kandi 𝜃 (theta) i një rrethi përkufizohet si herësi
i një harku s ndaj rrezes së rrethit r:

𝜃 = s ∕ r

Gjatësia e harkut është pra s = 𝜃 r
(nëse kandi 𝜃 jepet në radian).

Nëse duam të kalojmë prej shkallëve në radian ose anasjelltas,
atëherë duhet të merret parasysh se rrethi i plotë ka 360° ose
𝜏 radian:

-----------------------------

1 rad = 1 * 360° ∕ 𝜏

x rad = x * 360° ∕ 𝜏


P.sh 1 rad = 1 * 360° ∕ 𝜏 = 360° ∕ 6.28 = 57,3° (përafërsisht)

-----------------------------

1° = 1 * 𝜏 ∕ 360°

x° = x * 𝜏 ∕ 360°

Prandaj vlen:

45° ----- 𝜏 ∕ 8 (një e teta e rrethit)
90° ----- 𝜏 ∕ 4 (një e katërta e rrethit)
180° --- 𝜏 ∕ 2 (gjysma e rrethit)
360° --- 𝜏 (rrethi i plotë)

Shpresoj se më kurrë nuk do të keni probleme me radianët!

[arsimtari]

Unë më përpara shkrova se matematicienti David Gregory ishte
i pari i cili e përdori vlerën 𝜏 = 2𝜋 = 6,28 si një vlerë të vetme.
Sipas të dhënave historike ishte persiani Jamshid al-Kashi
(matematicienti ma i mirë i botës islamike) i cili i pari e përdori
këtë vlerë si konstante të rrethit.
Ai qysh më 1424 e llogariti vlerën 𝜏 me saktësi ma të madhe se
sa saktësia e Pi-së nga ana e Arkimed-it, matematika kineze e indiane.

Prandaj:
- konstantja PI ( 𝜋 ) mund të quhet konstantja e Archimedes-it (Arkimedid)
- konstantja TAU ( 𝜏 = 2𝜋 ) mund të quhet konstantja e al-Kashi-t
(ose thjesht "konstantja e rrethit").