Problemat e klases Shuma(g(X_i)) qe varen nga vete shuma e variablave X_i: Shuma(X_i), per cdo X, bien ne grupin
e mosbarazimeve te Jensenit. Me pak fjale, Jensen vertetoi qe Shuma e variableve X_i eshte me e vogel ose e barabarte (me e madhe ose e barabarte) se shuma e vete funksioneve te variableve X_i.
Pergjithesisht, kur kerkohet vlera maksimale e nje variabli X_i, eshte e domosdoshme konvertimi ne nje funksion te derivueshem (sepse derivati i pare nga jep maksimet apo minimumet).
Nje menyre se si mund ta konvertojme problemen tende ne nje probleme me funksion te derivueshem, eshte duke hequr nje number konstat X_c per cdo variabel ne funksionin kuadratik y=x^2:
Pra,
(a-X_c)^2 + (b-X_c)^2 + ... + (e-X_c)^2.
Tani hapim kllapat duke perdorur defaktorizimin kuadtratik: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:
a^2 - 2aX_c + X_c^2 + b^2 - 2bX_c + X_c^2 + ... + e^2 - 2eX_c + X_c^2.
Tani riorganizojme kufizat:
[a^2 +b^2 + ... + e^2] - [2aX_c + 2bX_c + ... + 2eX_c] + 5*X_c^2 =
= [a^2 +b^2 + ... + e^2] - 2X_c*[a + b + ... + e] + 5*X_c^2.
Nisur nga vlerat e shumave qe jane dhene ne probleme, dalim tek ky barazim:
= 16 - 2*X_c*8 + 5*X_c^2 =
5*X_c^2 - 16*X_c + 16.
Tani, mjafton te shprehim variablin
e me funskionin f(X_c) qe sapo nxorrem. Nga shuma e funksioneve F(X_i - X_c), eshte e qarte se termi (e-X_c)^2 eshte me i vogel se funksioni yne f(X_c), sepse termat jane te gjithe pozitive per shkak te ngritjes ne katror dhe termi (e-X_c)^2 eshte medoemos me i vogel se 5*X_c^2 - 16*X_c + 16. Megjithate, ne nuk e dime vleren e X_c, e cila mund te beje te mundur qe te gjitha termat e tjera te kene vleren zero. Prandaj, ketu kemi te bejme me nje barazim jo-strikt:
(e-X_c)^2
<= 5*X_c^2 - 16*X_c + 16 (Shenim: e^2 eshte me e vogel se 16 ne menyre strikte).
Nga kjo marrim rrenjen katrore te te dyja aneve:
e - X_c <= SQRT(5*X_c^2 - 16*X_c + 16), ku SQRT = Square Root (rrenja katrore)
Atehere, nxjerrim variablin e te shprehur si me poshte:
e <= SQRT(5*X_c^2 - 16*X_c + 16) + X_c. Meqenese X_c eshte nje vlere reale arbitrare, kemi te bejme me nje funksion te mirefillte dhe, vertetohet thjeshte, se ky funksion eshte i vazhdueshem, e per pasoje ka derivat te pare. Per arsye se na kerkohet maksimumi i vleres per
e, atehere studjojme thjesht barazimin:
e = y = f(x) = SQRT(5x^2 - 16x + 16) + x.
Nga ky funksion, gjej derivatin e pare f'(x) dhe kjo te jep ekstremumet, nga ku mund te gjesh maksimumin e vleres
e, dhene barazimi i mesiperm.
Krijoni Kontakt